Excel2003までであれば、ツール＞ユーザー設定＞オプションタブ と開いて、"その他"のところにある"ツールバーにボタン名を表示する"のところのチェックをはずすと、ツールバー上や、行列番号のところにマウスをポイントすると表示されていたポップアップヒントの表示を停止させることができました。Outlook2007など一部のプログラムでは現在も同様の操作でボタン名の表示/非表示を切り替えられるようになっています。
どうもこれがExcel2007については事情が変わっているようです。Excel2007の場合には、Officeボタンより、Excelのオプションダイアログを開いて、基本設定にある"Excelの使用に関する基本オプション"の"ポップヒントのスタイル"のところで設定を変更するようになっており、デフォルトでは、"ポップヒントに機能の説明を表示する"が既定となっており、ポップヒントと拡張ポップヒントが有効になっています。
ちなみにヘルプによればここでは、
1）ポップヒントに機能の説明を表示する：ポップヒント+拡張ポップヒント共に有効
2）ポップヒントに機能の説明を表示しない：ポップヒントは有効。拡張ポップヒントのみ無効
3）ポップヒントを表示しない：ポップヒント+ 拡張ポップヒント共に無効
のいずれかの選択となっています。
3)のポップヒントを表示しない 設定にしてみたところ確かに、ボタン名のところにポイントすると表示されるポップヒントやもうちょっと詳細な説明を伴う拡張ポップヒントは表示されなくなりますが、ワークシート上の行列の幅を変更するところでクリックした際に表示される数値（ポイント、文字数またはピクセル）については非表示にすることはできないようです。つまり設定項目の中で表示させないという設定はないということになるようです。
*Excel2002(おそらくExcel2003も同様)では、先に紹介したユーザー設定よりボタン名を表示しない設定にした場合、行列の幅の調整のところでも、サイズのポップアップ表示はなくなりますが、変わりに名前ボックス（通常はセル番号などが表示されている部分）にサイズが表示されています。つまりは、Excel2003まででも完全に消すことはできなかったってことですね。
ご質問の件ですが、私が一部で確認したところでは、Excel2007の場合、数式バーの所の関数の挿入ボタンと名前ボックスの所がマウスでドラッグして調整出来るようになっていますが、この部分をずらして、名前ボックス（アクティブセルの番号が表示されるところ）が隠れてしまったりすると、行幅・列幅共に表示されなくなってしまうようです。
Excel2003迄であれば、数式バーの表示・非表示はあっても、Excel2007のようにドラッグして名前ボックスを隠すようなことはできません。
ただし、Excel2003でもExcel2007にしても数式バー自体を非表示にしても関係はないみたいで、問題なく表示されるようですね。