仮に現在ご利用のGoogle ChromeがVer.42であれば、MSのサポート情報にもありますが、プラグインを有効にすることで、ご利用が可能となります。
さて問題は、最新バージョン(Ver.45)以降。先日もニュースにはなっていましたが、Google Chrome においては、以下で参照させていただいたヘルプにもあるように、9/1以降 古いNPAPI プラグインは完全に対応しなくなってしまいました(こうした古い技術へのサポートが終了してしまいました)。
ですので、SilverlightなどのコンテンツはInternet Explorerなどの他のブラウザを利用する必要があります。
U-nextというサイトでは、9/2付けで、"「Google Chrome 45」以降にアップデートされた場合、「Silverlight」が正常に動作せず動画の視聴ができない可能性がございます" といった案内をしているようです。
また同様にSilverlightを必要とするShowtimeという動画配信サイトでは以下の通りです。
・Google Chromeで動画再生ができない方へ(2015.9.2

ただし、どうしてもGoogle Chromeでということであれば、 "IE Tab" という拡張機能を追加すれば利用は可能になるようです。Chrome ウェブストアから無料でダウンロードが可能です。"IE Tab" とキーワードに入力し検索していただければ表示されます。
他にもDMM.comなども同様のようです。さらにオンデマンドで動画で授業を配信しているところなど、まだまだありそうですね。
Javaについても同様で、Google Chromeでは利用できませんので、IEなど他のブラウザを利用する必要があります。
時代の流れと言ってしまえばそれまでですが、Windows 10 に搭載されている Microsoft Edge でも、Silverlightのサポートはしていませんが、こうして動画などの配信形態もWeb標準の新しい技術体系(HTML5)へと移行していくんですね....。
<参照>
・Microsoft Silverlight は Google Chrome の最新バージョンで動作しない可能性があります。
・「Google Chrome 42」でNPAPIが無効化。Unity Web Player/Silverlight/Lyncなどに影響
・プラグインベースのコンテンツが Chrome で動作しない
・Microsoft、Silverlightの使用中止を推奨
・動画配信サービスからのお知らせ/DMM.com
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それにしても、国内では一向にモダン・ブラウザ完全対応(プラグインレスも含む)の Web サービスが増えて来ませんねぇ。これではいつまでたっても絵に描いた餅の域を抜け出せず、エンドユーザーから見れば「モダン・ブラウザ?何それおいしいの?」ってなっちゃいますよね。
まあ、スパルタン(仮)は未完成商法で論外だし、某火狐は最近何から何までちょろめの猿真似だし・・・。
それともこれは本当に国内だけの問題なのかな?