基本的な対処法としては、一旦削除して再インストールするといった、Windowsの場合と同様で、初歩的なことではありますが、その過程を整理してみました。
1) インストール自体に失敗する
Webページに表示されたメッセージに従ってインストールに進むものの、エラーが出てインストール自体に失敗するケースです。
2) Safariを閉じるように表示される
インストールにあたっては、ブラウザ（多くの場合、Safari）が開いたままだと、アドオンとして動作するFlash Playerのインストールが完了しませんので、Safariを終了させてあげる必要があります。そういった、インストールやアンインストールの過程で、ブラウザが動作している時に表示されるメッセージです。
【対処法】
1) インストール自体に失敗する
多くの場合、ちょっと前まではきちんと利用できていたのに、突然使えなくなったというケースの方が多いのかと思います。また新規にインストールを試みて途中で失敗して終わっているケースなどもこのケースに含んで対処していただくといいかと思います。
a. アンインストールする
・Flash Player をアンインストールする方法／Adobe
まずは、PCに残っているもの（以前のバージョンやインストールに失敗して中途半端に残っているものなど）、を上記のサイトにアクセスして、専用のアンインストーラーを利用して、きれいに削除します。
Mac版の場合、OS10.6以降とOS10.4/10.5ではプログラムが異なりますのでご注意ください。
b. インストールする
・Adobe Flash Player
続いて上記から改めてFlash Playerをダウンロードしてインストールします。
2) Safariを閉じるように表示される
これはインストール自体に失敗しているというより、インストールやアンインストールの過程で、Safariなどのブラウザの終了を求められて先に進めないというケースです。
この場合当然Safariが開いていたら終了させますが、画面上では終了させたつもりで、何も起動していないはずなのに、それでもこのメッセージが出てくる場合には、プログラムを強制終了させます。
・OS X：強制終了を使って応答しないアプリケーションを終了する方法／Apple
上記にもありますが、
・command + option + esc の3つのキーを同時に押して、強制終了のダイアログを表示させる
・アップルメニュー＞強制終了 とクリックしてダイアログを表示させる
いずれかの方法で表示させ、Safariなどのブラウザを選択して強制終了させてください。
またインストールが完了しているのに、動作しない場合には、以下の "Safari で Flash Player を有効にする方法" で紹介されているように、Safariの環境設定を確認してみてください。
【最後に】
念のため触れておきますが、Windowsのケースでも、Windows7以前のものは、今回ご紹介したMac版と同様一度専用のアンインストーラーを利用して削除した上で、再度新規にインストールしてみるという流れになります。
ただし、Windows8以降の場合には、Adobeのサイトから提供されるものではなく、Windows Updateにて提供されているので、仮に削除を試すのであれば、インストールされた更新プログラムの中から、該当のものを探して削除して、再度Windows Updateを利用してインストールしてみるという対処法になります。
＜参照＞
・Flash Player Help / Flash Player インストールトラブル対処法 (Mac OS)
・Safari で Flash Player を有効にする方法
